当宝宝背心出汗老打湿时，家长应该可以采取以下措施：
1. 确保宝宝穿透气性好的衣物。
宝宝夏天容易出汗，需要穿透气性好的衣服，让汗水及时散发出来，以保证宝宝的皮肤不被刺激，同时也可以减少宝宝的出汗现象。
2. 保持宝宝的环境干燥。
家长可以通过调节室内温度和湿度，让宝宝的居住环境保持干燥，以适当地减少宝宝出汗的情况。如果还是比较潮湿的话，可以在孩子睡觉的地方放上一些吸湿剂。
3. 给宝宝多喝水。
运动出汗后，宝宝需要补充水分，以保证代谢正常。家长可以给宝宝多喝水，尤其是在宝宝出汗较多时，更应该为宝宝适时地补充水分。
4. 适当给宝宝洗澡。
在夏天，宝宝容易出汗，家长可以适当地为宝宝洗澡，减轻宝宝出汗的情况。洗澡时可以用温水，控制水温不要过热，也不要洗太久。在洗澡之后，要及时为宝宝擦干身体和头发。
总之，当宝宝背心出汗老打湿时，家长应该想办法让宝宝在舒适的环境中生活，同时注重补充水分，适当定期为宝宝洗澡，在保证宝宝健康的基础上，减少宝宝出汗的情况。
